弹簧的极限应力图和安全系数计算式的导出

张英会 （北京科技大学）

     摘要 本文在疲劳规范的基础上，对弹簧的疲劳曲线、疲劳极限应力图作了扼要的阐述。进而根据弹簧的Goodman疲劳极限应力图进行综合分析，导出弹簧的疲劳安全系数和静强度安全系数计算公式。对安全系数的性质和应用范围作了说明。

     主题词弹簧的安全系数 疲劳 极限应力图

      弹簧疲劳强度和寿命的考核，一般多以弹簧疲劳极限应力图为依据。在使用时，想得到较为准确的结果，要依靠所使用弹簧材料的疲劳极限应力图。但在应用上没有具体量的概念。因此，在制定GB1239-76时，参加工作的各位同事想寻求一个有代表性的弹簧疲劳安全系数的计算方法。作者根据同事们的意见，参考材料和弹簧的疲劳强度理论、以及弹簧疲劳极限应力图和资料，进行统计、分析后，导出强度安全系数计算公式（1、2）。得到了参加制定标准者，包括肖椿霖工程师及已故北京航空航天大学白琼林老师，标准所崔俊山工程师等同事们的认可，并在标准附件中采用。多年来的应用效果尚可。此计算式为统计值，非绝对值，有一定的误差，大约±5%。为了便于同行们的理解和参照运用，现将此安全系数计算式形成过程阐述一下。

   由于此强度安全系数的计算式系根据极限应力图导出，所以也将极限应力图的形成进行了简述。

   本文应用符号列于表1。

                      表1 应用符号

符号	名 称	单位
N	循环次数	次
N0	寿命基数	次
S	应力（stress）、疲劳安全系数	—
Ss	静强度安全系数	--
Smin	最小疲劳安全系数	—
Ssmin	最小静强度安全系数	--
γ	循环特征(τmin/τmax)	—
σb	抗拉强度	MPa
τ0	脉动循环疲劳极限切应力	MPa
τ-1	对称循环疲劳极限切应力	MPa
τa	应力幅(τmax-τmin)	MPa
τb	扭切强度（2σb/3）	MPa
τs	扭切屈服极限	MPa
τN0	对应于寿命基数的切应力	MPa
τlim	极限切应力	MPa
τmax	******工作切应力	MPa
τmin	最小工作切应力	MPa
	敏感系数

1 弹簧材料的疲劳曲线和极限应力图

       1.1弹簧材料的典型疲劳强度(S-N)曲线

       弹簧材料的典型疲劳曲线(图1)表明应力S(stress, )与寿命N(number)的相关性，应力 高，则寿命N短。当应力低到一定程度时，可以使寿命得到极大的延长，曲线近似于水平，以至于很难测到其真实寿命。这个低应力对应的寿命N₀，称为寿命基数。不同的材料对应有不同的寿命基数N₀。随着材料强度的走高，N₀值在增加。弹簧材料的N₀值在10⁷～10⁸之间。因此，在考核疲劳寿命时，往往以寿命10⁷次为准，当超过此值时就很难测到其寿命。

                                图1 弹簧材料的疲劳曲线

       1.2 考虑应力幅时弹簧材料的疲劳曲线

       弹簧工作时的应力幅，即******应力τ_max与最小应力τ_{min差，表征应力变化的幅度τa=τmax-τmin,或以应力特征γ=τmin/τmax表示。不同的应力幅，弹簧的强度不同。在同等******应力的情况下，应力幅τa愈大，即最小应力τmin愈小，弹簧的强度愈低，相反应力幅τa愈小即最小应力τmin愈大，弹簧的强度愈高。当最小应力τmin******应力τmax时，即应力变化幅度很小，处于微振状态,即接近τa当最小应力τmin于0时，应力变化幅度很大，处于极振状态, 即τa0，τ0称为脉动疲劳极限。如图2示，以横轴为τmin，以竖轴为=0（γ=0），一般弹簧的强度为最低，其扭切强度极限表示为τ小到接近≈1（γ≈1），一般弹簧的强度可以以静强度考核。其极限强度值为扭切强度极限τb或扭切屈服极限τs。大到接近}之

τ_max，对不同应力幅，即不同最小应力τ_{min，测得的弹簧材料的疲劳极限点τlim。如将这些极限点连接，则形成了一微上拱的BC曲线，此曲线的曲度较小，可以简化为直线。BC线的竖值，即为不同的应力幅下的弹簧的疲劳极限强度。}

再进一步，从疲劳曲线图的O点作45⁰延长线，此线竖值即为应力幅的最小值τ_{min,即应力幅等于0,为静应力,也即切应力极限值τb。切应力极限值一般取τb=(2/3)σb。为了保持弹簧的弹性，按扭切屈服极限τs,分别与极限应力τlim小应力τmin极限应力。交于D和G,DG线即为弹簧不发生永久变形的线和最=0.45σb作水平线}。在此线与BC（τ_lim）线的交点

如图3示0BDG区表示为不同应力幅下的弹簧材料强度极限应力区,当弹簧的******工作应力处于0BDG区内时，即表示具有一定的安全性。在疲劳规范中，以循环最小应力值τ_{min疲劳极限，一般称为Goodman疲劳极限应力图。}为横坐标，******应力值τ_max为纵坐标表示的

                            图2 疲劳极限应力的试验图

                   

                       图3 疲劳极限应力示意图

1.3 弹簧材料疲劳极限应力图的形成

       如考虑到疲劳寿命，可从疲劳曲线上任意点作水平线与竖轴相交E点，此点即为对应于寿命N的疲劳极限应力。如图4示，当寿命N=10⁴时，对应的疲劳极限应力 。然后作 与C点的连线，与扭切屈服极限DG线相交于D,OEDG区即为寿命N=10⁴时，不同应力幅的疲劳极限应力区。对要求弹簧的疲劳寿命N=10⁴时，当其******工作应力处于此区域内时，即表示具有一定的安全性。同样,可以得弹簧的疲劳寿命N=10⁷时的疲劳极限应力区OFHG。如此便可以绘制出具有不同疲劳寿命下弹簧疲劳极限应力。

                             图4 与寿命相关的疲劳极限应力 图    

      图5 示为压缩弹簧疲劳极限图。适用于未经喷丸处理的具有较好的耐疲劳性能的钢丝，如重要用途碳素弹簧钢丝、高疲劳级油淬火－回火弹簧钢丝。此图比较概略。不同的类型的钢丝，不同的直径具有不同的疲劳极限应力图，参见

«弹簧手册»，或DIN2089T1«圆线材和圆棒材制圆柱形螺旋弹簧：计算与结构»。
                        

                      图5压缩弹簧疲劳极限应力图

      图中τ_s=0.45的横线是以不产生永久变形的设定值，随着弹簧永久变形允许程度，可以适当提高。最高可接近扭切强度。

从图中可以看出τ_s=0.45也是疲劳寿命10⁴作用次数时的极限强度。这表明当作用次数小于10⁴时，可以按静强度考虑。同样，应力幅τ_{a可以按静强度考虑。}小到一定程度时，也

        2 .弹簧安全系数的导出

       从Goodman应力图3原点0作与横轴成45⁰的射线，与BC的延长交于A（图6），此点坐标-τ_{min即应力幅τa=-1,为对称循环时的疲劳极限τ-1。弹簧安全系数计算式是依据此图导出的。}与τ_max相等，

                                     图6 Goodman疲劳极限应力图

       如已知******工作应力τ_max和最小工作应力τ_min，其疲劳极限应力如图示在疲劳极限BD线上为τ_lim。可知其疲劳安全系数为

       在计算时如缺少具体的脉动疲劳极限τ₀值，一般根据材料的抗拉强度σ_b可以估算τ₀值，见表2。

       当弹簧的设计计算和材料试验数据精确性高时，取最小疲劳安全系数S_min=1.3-1.7; 当精确性低时，取S_min=1.8-2.2。

      如******工作应力τ_max处于DG线以下时，弹簧的工作情况接近于静强度，其极限应力为τ_s。因而可得静强度安全系数为

                          （2）

        最小静强度安全系数S_s的选取同最小疲劳安全系数。

       扭切屈服极限τ_s=0.45σ_b是按不产生永久变形的取值。随着弹簧永久变形允许程度，可以适当提高，最高可到静载荷的许用切应力。

       当这两种情况不易区别时，要同时进行两种强度的校核。当受到尖峰载荷作用时，应根据尖峰载荷产生的应力进行静强度校核。

    表2为冷卷压缩弹簧的脉动疲劳切应力 值。冷卷拉伸弹簧的 ,取表所列值的80%。

            表2 冷卷压缩弹簧的脉动疲劳切应力     

循环次数	104	105	106	107
脉动疲劳切应力	0.50	0.42	0.38	0.35

 注：1.适用于油淬火—回火弹簧钢丝、碳素弹簧钢丝和弹簧用不锈钢丝；

        2..对于喷丸处理的弹簧表列数值可适当提高，最高可达20%；

        3.当弹簧在有腐蚀介质中工作，或弹簧表面有防护层时，疲劳切应力值参考有关资料选取；

       4.抗拉强度选取材料标准的下限值。

       从公式的来源，可以看出此公式系作者综合分析导出，具有一定的局限性。在第二版«弹簧手册»中特冠以«张氏公式»，表明此公式的性质，便于读者量情应用。

       弹簧设计应用的公式都是在材料力学的基础上简化而成，是近似性的，与实际具有一定的误差。设计者可根据具体情况进行适当的修正。必要时，可进行有限元法核验。

       疲劳强度与很多因素有关，如设计、材料、工艺、使用和环境等。设计的近似性、材料的不稳定性、工艺的繁琐性、使用和环境的复杂性，这些影响因素导致弹簧产品的疲劳强度具有模糊性，很难保证产品的疲劳强度。所以对于重要产品的定型，应进行疲劳强度试验，确定其疲劳强度。

[1]张英会、刘辉航、王德成主编. «弹簧手册»第2版.

[2]美国汽车工程师学会编. «零件疲劳设计手册».

[3]日本材料学会编. «金属の疲劳».

[4]余 俊、全永昕、张英会主编. «机械设计»第2版.